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這是 hypergeometric series；有兩行的表示法，但我不知道怎麼用 MathJax 表示
\(a_i\) 叫 upper parameter、\(b_i\) 叫 lower parameter、\(z\) 叫 argument
參數基本上只要 \(b > 0\) 就好（避免 divide by zero），沒有其他限制；底下再會討論 degenerate 的情況
\(\mathcal{R}_a\) 是 \(a \in \mathbb{C}\) 的實部
為了讓 hypergeometric function 的參數可以是任意複數（而非只是整數）的 generalization
\[{1 \over z!} = \lim_{n \to \infty}{n+z \choose n}n^{-z} \tag{1}\] \[z! = \int^{\infty}_0 t^ze^{-t}dt,\ \mathcal{R}_z > -1 \tag{2}\]Defined for all \(z \in \mathbb{C}\)
同樣的，\(z! = z(z-1)!\)
當 \(z\) 是負的，\((2)\) 就派上用場
極限情況見 [CMath] p.211
Hypergeometric function，超幾何函數。許多 infinite series 都能以這樣的形式表現，於是可以利用 hypergeometric function 的眾多性質，系統性的操作這些 series（包括在 Binomial Coefficient 見到的 series）；以下舉些例子：
\[F(1; 1; z) = \sum_{k \geq 0} {z^k \over k!} = e^z\] \[F(-n, 1; 1; 1) = \sum_k {(-n)^{\bar k} 1^{\bar k} \over 1^{\bar k}} {z^k \over k!} = \sum_k {n \choose k}(-1)^k.\]某些常見的形式有特殊的名字，像是 confluent hypergeometric series：
\[F(a; b; z) = \sum_{k \geq 0}{a^{\bar k} \over b^{\bar k}}{z^k \over k!} = M(a, b, z)\]還有 Gaussian hypergeometric：
\[F(a, b; c; z) = \sum_{k \geq 0}{a^{\bar k}b^{\bar k}z^k \over c^{\bar k}k!} \tag{1}\] \[F(a, b; c; 1) = {\Gamma(c-a-b)\Gamma(c) \over \Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},\ b \leq 0 \tag{2}\] \[F(a, -n; c; 1) = {(c-a)^{\bar n} \over c^{\bar n}} = {(a-c)^{\underline{n}} \over (-c)^{\underline{n}}}. \tag{3}\]\((3)\) 涵蓋了 Vandermonde’s Convolution 和他的所有變體；這就是 hypergeometric function 的強大之處
這裡不討論 series 的歛散，詳見 [CMath] p.206。
\((4)\) 可看作是 \((1)\) 的擴充版
所以
\[{t_{k+1} \over t_k} = {(k+a_1)\cdots(k+a_m)z \over (k+b_1)\cdots(k+b_n)(k+1)}\]“This is a rational function of \(k\).”，也就是說，分子分母都是 \(k\) 的 polynomial。
注意分母的 \((k+1)\)，如果沒有要補上；分子的 \(z\) 則是任何沒有 \(k\) 的常數
這是將任一 series 轉換成 hypergeometric series 的關鍵想法（前提是該 series 本來就有潛力成為 hypergeometric series）：我們只需要求出 term ratio，再對應 \(a_i, b_i, z\) 即可！
當 lower parameter \(b < 0\)，hypergeometric function 理應是沒有定義的，但如果我們好好處理如此「退化」情形，有機會可以正確地求值。
例如：
\[\sum_{k \leq m}{m+k \choose k}2^{-k} = 2^m \iff \sum_{k \geq 0}{2m-k \choose m-k}2^k = 2^{2m}\]利用上述 term ratio 求出 hypergeometrc function：
\[{2m \choose m}F(1, -m; -2m; 2) = 2^{2m}\]但是，lower parameter \(-2m\) 是負的，造成整個 function undefined！幸好，「從非退化點逼近」可以幫助我們解決問題！
先看簡單的例子：
\[{-1 \choose -1} = 0 = \lim_{\epsilon \to 0}{-1+\epsilon \choose -1} = 1 \tag{1}\]但是
\[\lim_{\epsilon \to 0}{-1+\epsilon \choose -1+\epsilon} = 1 \tag{2}\]Why \((2) = 1\)? 試用 generalized factorial function 展開
\(\epsilon\) 是為了跳開 \(0\)，像是 \((-1)^{\bar 3} = 0\) 但 \((-1 + \epsilon)^{\bar 3} \not = 0\)
這例子顯示，針對同一函數的不同逼近方法（\(\epsilon\) 擺放位置）會帶來不同的值，要小心！
那該如何在我們待解決的問題中放上正確的 \(\epsilon\)？lower parameter 是一定要的，upper parameter 呢？
先看最初的 series，發現邊界條件是 \(k \leq m\)，也就是對於所有 \(k > m\)，\(F = 0\)。但如果 upper parameter 變成 \(-m + \epsilon\)，則 \(F\) 永遠都不為 \(0\)！（\(1 + \epsilon\) 則是沒意義）；所以候選正確形式為：
\[{2m \choose m}\lim_{\epsilon \to 0}F(1, -m; -2m+\epsilon; 2)\]檢查：當 \(k > m\)，\(F\) 的 term（含極限，經過化簡）是：
\[\lim_{\epsilon \to 0}{0 \over \epsilon} = 0\]正確！最終版就是：
\[{2m \choose m}\lim_{\epsilon \to 0}F(1, -m; -2m+\epsilon; 2) = 2^{2m},\ m \in \mathbb{Z}^+ \tag*{$\blacksquare$}\]